时间限制：1000MS 内存限制：262144KB
难度：\(4.0\)
有 \(n\) 个货物，每个货物都有各自的重量 \(w_i\) 和价值 \(c_i\)，但是载重量仅为 \(m\) 。
挑选出一些货物，总重量不超过 \(m\)，使价值之和最大。
第一行，两个整数 \(n\)，\(m\)；
接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(w_i\)，\(c_i\) 。
一个整数 \(ans\) 。
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1 2 3 4 5 |
4 3 3 10 2 7 2 8 1 1 |
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1 |
10 |
\(1 \leq n \leq 10^6\)，\(1 \leq m \leq 4^{31}\)，\(1 \leq w_i \leq 3\)，\(1 \leq c_i \leq 10^9\) 。
时间限制：2000MS 内存限制：524288KB
难度：\(6.0\)
在一条东西向的街道上有 \(n\) 个餐馆，从西向东编号为 \(1\) 至 \(n\)，第 \(i\) 个餐馆和第 \(i+1\) 个餐馆的距离为 \(a_i\) 。
吃货小W喜欢到这条街道的餐馆里吃饭。现在，小W得到了 \(m\) 张餐票，每张餐票可以用于在街道上的任一餐馆里吃一餐。在第 \(i\) 个餐馆中，使用第 \(j\) 张餐票吃饭，可以获得的美味度为 \(b_{i,j}\) 。注意，每张餐票最多用一次，但在同一餐馆内可以使用任意多张餐票。
小W打算用完这 \(m\) 张餐票。他可以选择任一餐馆作为起点，每次吃饭时，可以选择一个餐馆，然后从当前位置（上次吃饭的地点，如果不存在则为起点）出发前往该餐馆并用任意一张未用过的餐票吃一餐，直到吃完 \(m\) 餐为止。小W希望最大化每次吃饭的美味度之和减去路上经过的总路程的值。
输入第一行包含两个正整数 \(n,m\) 。
第二行包含 \(n-1\) 个正整数 \(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}\) 。
接下来 \(n\) 行，每行包含 \(m\) 个正整数，其中第 \(i\) 行第 \(j\) 个数为 \(b_{i,j}\) 。
输出一行一个整数，表示所求的最大值。
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1 2 3 4 5 |
3 4 1 4 2 2 5 1 1 3 3 2 2 2 5 1 |
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1 |
11 |
最优方案如下：以餐馆 \(1\) 为起点，在餐馆 \(1\) 使用第 \(1\) 张餐票、第 \(3\) 张餐票，然后前往餐馆 \(2\) 使用第 \(2\) 张餐票、第 \(4\) 张餐票。
对于所有数据，\(nm \leq 10^6\)，\(n \geq 2\)，\(a_i, b_{i, j} \leq 10^9\) 。
Source：ARC067 F – Yakiniku …
时间限制：3000MS 内存限制：262144KB
难度： \(6.0\) 出题人：zzx
给定正整数序列 \(a[1], a[2], \cdots , a[n]\)，你需要依次解决 \(m\) 个询问，每个询问用两个正整数 \(L, R\) 描述， 请求出有多少个数在 \(a[L],a[L+1],\cdots,a[R]\) 中出现正偶数次。
求出每个查询的结果。
输入第一行四个整数 \(n\)、\(c\)、\(m\) 以及 \(t\) 。
第二行 \(n\) 个整数 \(a[1],a[2],\cdots,a[n]\)，每个数在 \([1,c]\) 间。
接下来 \(m\) 行每行两个整数 \(l\) 和 \(r\)，设上一个询问的答案为 \(ans\) (第一个询问时 \(ans=0\) )，令 \(L=(l+t \times ans) \bmod n+1, R=(r+t \times ans) \bmod n+1\)，若 \(L>R\)，交换 \(L\) 和 \(R\)，则本次询问为 \([L,R]\) 。
对于每个询问， 输出一行对应的答案。
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1 2 3 4 5 6 7 |
5 3 5 1 1 2 2 3 1 0 4 1 2 2 2 2 3 3 5 |
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1 2 3 4 5 |
2 0 0 0 1 |
对于 \(50\%\) 的数据，有 \(t=0\) 。
时间限制：1000MS 内存限制：524288KB
难度： \(7.0\)
有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，结点从 \(1\) 到 \(n\) 标号，点 \(u\) 的初始权值为 \(w_u\)。你可以对任意结点 \(u\) 进行操作，将你的得分（初始为 \(0\)）加上 \(\sum_\limits{(u,v) \in E}w_v\) ，并将 \(w_u\) 除以 \(2\) 。
给定一个长度为 \(k\) 的结点序列 \(s_1,s_2,\cdots,s_k\) （\(1 \leq s_i \leq n\)），在一轮操作中，你需要依次对 \(s_1,s_2,\cdots,s_k\) 进行操作。你想知道，在进行了无限轮操作后，你得分的极限是多少。
显然答案一定可以表示成 \(P/Q\) 的形式，你需要输出 \(P \times Q^{-1}\) 在模 \(998244353\) 意义下的值。特别的，如果得分并不收敛，输出 \(-1\) 。
本题有多组数据，请读入到文件结束。
对于每组数据，第一行三个整数 \(n,m,k\) ，含义如题所述。
第二行 \(n\) 个整数 \(w_1,w_2,\cdots,w_n\)，表示结点的初始权值。
第三行 \(k\) 个正整数 \(s_1,s_2,\cdots,s_k\) 。
接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(u,v\)，描述了一条无向边。
对于每组数据，输出一行一个整数，表示答案。
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1 2 3 4 5 6 |
4 3 4 1 1 1 1 1 2 3 4 1 2 2 3 1 3 |
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1 |
9 |
对于 \(20\%\) 的数据，\(n,m \leq 5\)，\(k \leq 10\)；
对于 \(40\%\) 的数据，\(n,m \leq 1000\)，\(k \leq 2000\)；
对于另外 \(20\%\) 的数据，数据为随机生成；
时间限制：1000MS 内存限制：262144KB
难度：\(6.0\) 出题人：zzx
有 \(n\) 顶外形相同的魔术帽和一个魔术球，每次游戏开始前，魔术帽会被倒扣放置排成一排，这些魔术帽从左到右依次编号为 \(1, 2, \cdots , n\) 。
每一局游戏，魔术球会被放在其中一顶魔术帽底下，然后进行若干次交换，每次交换时可以选出两顶魔术帽，交换它们的位置。整个过程对于小朋友们而言都是可见的。交换结束后，小朋友们可以打开魔术帽，正确找到魔术球则游戏胜利。
为了进行多局游戏，现有一个长度为 \(m\) 的操作序列 \((a_1,b_1), (a_2,b_2), \cdots ,(a_m,b_m)\)，其中 \((a_i,b_i)\) 表示反转 \(a_i\) 号和 \(b_i\) 号魔术帽之间的魔术帽的顺序（如原来魔术帽从左到右为 \(a,b,c,d,e,f,g\)，则操作 \((3,6)\) 进行后顺序变为 \(a,b,f,e,d,c,g\) 。之后，小朋友们会玩 \(q\) 局游戏。其中，第 \(j\) 轮游戏，魔术球会被放在 \(x_j\) 号魔术帽下，然后进行操作序列中 \([l_j,r_j]\) 这个片段，即依次进行反转操作 \((a_{l_j},b_{l_j}),(a_{l_j+1},b_{l_j+1}), \cdots ,(a_{r_j},b_{r_j})\) 。请求出每次游戏反转操作结束时，魔术球位于在哪一顶魔术帽下。注意：这里的魔术帽编号始终是按照位置从左到右编号的，即每次交换魔术帽之后，所有魔术帽会按照从左到右的顺序重新编号为 \(1,2,\cdots,n\) 。
第一行有三个整数 \(n,m,q\)，其中 \(n\) 代表魔术帽的数量，\(m\) 代表操作序列的长度，\(q\) 代表游戏次数。
接下来 \(m\) 行，其中第 \(i\) 行两个整数 \(a_i,b_i\)，表示操作序列的第 \(i\) 项。接下来 \(q\) 行，其中第 \(j\) 行三个正整数 \(x_j,l_j,r_j\)，表示第 \(j\) 局游戏。保证 \(1 \leq a_i \leq b_i \leq n\)，\(1 \leq x_j \leq n\)，\(1 \leq l_j \leq r_j \leq m\) 。
输出 \(q\) 行，每行一个整数，第 \(j\) 行的整数表示第 \(j\) 局游戏的交换结束后，魔术球所在的魔术帽编号。…
时间限制：1000MS 内存限制：262144KB
难度： \(6.0\)
某山上一共有 \(n\) 个广场，编号依次为 \(1\) 到 \(n\)，这些广场之间通过 \(n-1\) 条双向车道直接或间接地连接在一起。对于每条车道 \(i\)，可以用四个正整数 \(u_i, v_i, l_i, r_i\) 描述，表示车道连接广场 \(u_i\) 和 \(v_i\)，其速度承受区间为 \([l_i, r_i]\)，即汽车必须以不小于 \(l_i\) 且不大于 \(r_i\) 的速度经过车道 \(i\) 。
现计划进行 \(m\) 次训练，每次选择某山上的一条简单路径，然后在这条路径上行驶，且每次训练时的车速都是固定的。现在有在 m 次训练中分别计划使用的车速，要求一条合法的路径（车速在所有车道的速度承受区间的交集内），使得路径上经过的车道数最大。
输入文件的第一行包含两个正整数 \(n, m\)，表示广场数和训练次数。接下来 \(n-1\) 行，每行四个正整数 \(u_i, v_i, l_i, r_i ( \leq n)\)，描述所有车道。最后 \(m\) 行，每行一个正整数 \(v (\leq n)\) ，表示每次训练是的车速。
输出 \(m\) 行，输出每次训练时的行驶路径经过的最大车道数。
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1 2 3 4 5 6 7 8 |
5 3 3 2 2 4 1 5 2 5 4 5 2 2 1 2 3 5 1 2 3 |
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1 2 3 |
0 2 3 |
时间限制：2000MS 内存限制：262144KB 出题人：lgj
难度： \(6.0\)
已知一棵树有 \(n\) 个节点，并且根节点是固定的。
每个节点上都有一个权值 \(w_i\) ，记 \(s_i\) 为 以 \(i\) 为根的子树中，所有节点的 \(w_i\) 的和。
由于询问 \(s_i\) 太简单了，不能将 AKIOI 的你的高智商体现出来，所以每次询问给定 \(l, r\) ，求 \(\sum\limits_{i=l}^{r}{s_i}\) 。
为了避免此题难度太低，不能将 AKIOI 的你的高智商体现出来，所以的询问的过程中还可能修改某个节点的 \(w_i\) 。
为了将 AKIOI 的你的高智商体现出来，你要写一个程序来实时给出询问的答案。
第一行为两个整数 \(n\) 和 \(q\)，分别表示节点数和操作的次数；
第二行 \(n\) 个正整数，表示序列 \(w\) ；
接下来 \(n\) 行，第 \(i\) 行两个正整数 \(u_i\) 和 \(v_i\)，描述一条树上的边。特别地，\(u_i=0\) 时，表示 \(v_i\) 为树的根节点；
接下来 \(q\) 行，每行三个正整数 \(op, l, r\) 。描述 \(q\) 组操作。 \(op=1\) 表示 \(w_l\) 修改为 \(r\)，\(op=2\) 表示询问 \(\sum\limits_{i=l}^{r}{s_i}\) 的值。
最近（两个月前）学习了斜率优化 —— 一种优化 1D1D 动态规划转移方程的高效方法，在较高难度的比赛中是一种十分常见的 DP 优化手段。鉴于我之前（一年前）也稍微接触过一点相关方面的知识，但是完全没有搞懂（太菜了），最近（两个月前）再配合 orzCJK学长 提出的截距优化的思想理念才对于斜率优化问题有了深刻的见解，故在这里对 orzCJK学长 的 斜率优化_截距优化！.pdf 进行详细的解释说明。
首先，1D1D 指的是状态数 \(O(n)\) 转移 \(O(n)\) 的动态规划方程。在满足一些条件的情况下，斜率优化可以将转移的 \(O(n)\) 优化至 \(O(logn)\) 甚至可以到 \(O(1)\) 。这样时间复杂度就由 \(O(n^2)\) 变为 \(O(nlogn)\) 甚至是 \(O(n)\) ，可见斜率优化的高效性。
如果有一个 DP 方程的某个状态为 \(f_i\) ，如果能推导出类似于 \(f_i=c_i + \min\limits_{j<i \land \cdots}{\{a_j + w_i \cdot b_j\}}\) ，那么这个转移方程就可以使用斜率优化进行优化。
然而普通的转移方程并没有什么特殊的地方，使用经典的方法（我也不会）略显繁琐，所以现在我们要赋予它以几何意义。（时刻注意，这个转移方程的意义是对于一个 \(i\) 在 \(j < i\) 范围内寻找 \(j\) 使 \(a_j + w_i \cdot b_j\)）最小。）
换一下变量名，设 \(y_j=a_j, k_i=-w_i, x_j=b_j\) ，那么这样需要最小化的式子就变为 \(\underbrace{a_j}_{y_j} – \underbrace{-w_i}_{k_i} \cdot \underbrace{b_j}_{x_j}\) 。这不就是截距 \(b = y – kx\) 吗？！！也就是说，要最小化的就是一条过 \(\left(x_j, y_j\right)\) 且斜率为 \(k_i\) 的直线的截距！
换句话说，把所有对于当前 \(i\) 可转移的 \(j\) 都表示为二维平面上的一个点 \(p_j=\left(x_j, y_j\right)\) ，我们需要做的就是在所有这样的点中，找到一个点，使经过它且斜率为 \(k_i\) 的直线的截距最小！这也是为什么斜率优化就是截距优化的原因，它其实优化的是截距！
现在想象一条斜率固定的直线从下往上平移，当它第一次经过某个点 \(p_j\) 时，这时的截距肯定取到最小值。那么这个点 \(p_j\) 在什么地方呢？显然，它会在所有 \(p\) 组成的下凸壳上。
时间限制： 1000ms 内存限制：256MB
难度： \(4.5\)
作为一道签到题，自然只能包含最基本的算法。本题的任务很简单，给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，你要将其排序。
由于出题人很菜，不会排序算法，他决定自己编一个。他想找到一个数 \(x\)，使得序列中的所有数字都异或上 \(x\) 后序列恰好按从小到大排列。
顺带，这个序列会被进行若干次修改，每次修改后你需要回答当前是否存在一个 \(x\) 满足序列中数字异或上 \(x\) 后按从小到大排列，如果有，请你给出最小的 \(x\) 。
第一行一个正整数 \(n\) 。
第二行 \(n\) 个非负整数，表示序列 \(a\) 。
第三行一个非负整数 \(q\) ，表示修改次数。
接下来 \(q\) 行，每行一个正整数 \(x\) 和一个非负整数 \(y\)，表示将序列中第 \(x\) 个元素修改为 \(y\) 。
输出 \(q+1\) 行，每行一个整数，第一行表示一开始最小的合法 \(x\) ，之后 \(q\) 行依次表示每次修改后最小的合法 \(x\)，如果不存在则这一行输出 \(-1\) 。
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1 2 3 4 5 6 |
3 0 1 4 3 2 7 3 3 1 4 |
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1 2 3 4 |
0 2 -1 4 |
对于 \(20\%\) 的数据，\(n,m \le 500\)，所有数字不超过 \(2^9\) 。
对于 \(50\%\) 的数据，\(n,m \le 1000\) 。
对于 \(100\%\) 的数据，\(n,m \le {10}^6\)，所有数字不超过 \(2^{30}\) 。
时间限制：1000MS 内存限制：524288KB
难度： \(4.0\)
你需要构造一棵至少有两个顶点的树，树上的每条边有一个非负整数边权。树上两点 \(i,j\) 的距离 \(dis(i,j)\) 定义为树上连接 \(i\) 和 \(j\) 这两点的简单路径上的边权和。
我们定义这棵树的直径为，所有满足 \(1 \leq i < j \leq n\) 的 \((i,j)\) 中，\(dis(i,j)\) 最大的。如果有多个这样的 \((i,j)\)，那么均为直径。
作为一个构造题，你需要构造一个恰有 \(k\) 个直径的树。可以证明在给定的限制下一定有解。
一行一个正整数 \(k\)，表示你需要构造出一个恰有 \(k\) 个直径的树。
第一行一个正整数 \(n\)，表示你构造的树的点数。
接下来 \(n-1\) 行，每行三个整数 \(i,j,w\)，表示一条连接点 \(i\) 和 \(j\) （点的编号为 \(1,2, \cdots, n\)）的树边，边权为 \(w\) 。
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1 |
3 |
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1 2 3 4 5 |
5 1 2 2 3 2 2 2 5 3 4 2 2 |
这只是一种符合题意的输出，可能还有其他输出。在这个输出中，直径为 \((1,5),(3,5),(4,5)\) 。
注意，你需要构造出的树必须满足 \(2 \leq n \leq 5000, 0 \leq w \leq 10^5\) ！
对于 \(30pts\) 的数据，\(1\leq k \leq 2000\) ；
对于 \(100pts\) 的数据，\(1\leq k \leq 5 \times 10^6\) 。