[研学] 偏序问题的研究

时间：2019.04 ~ 2019.09

参加成员：Modem_  Lagoon  _Qijia  mnihyc

备注：第二年就开始混水了啊（笑），只存了自己写的那部分：

• 高维偏序

至此，\(k \le 3\) 的问题已经被我们解决了。

那 \(k = 4\) 呢？CDQ套CDQ？CDQ套树套树？树套树套树？

如果 \(k\) 更大，达到 \(k = 10\) 呢？十维树状数组？树套树套树套树套………？

很明显 \(O(n{\log ^{k – 1}}n)\) 的复杂度是承受不起的，需要从别的方面下手。

注意到在 \(k\) 变大的同时，\(n\) 也在变小，所以可以考虑复杂度以 \(n\) 为主的算法。

首先考虑的，当然是暴力啦）。

可以暴力枚举所有维度，并且按照这个维度（上的数）排序，这些就可以快速找出一个点控制了其它哪一些点。如果把这个信息用一个长度为 \(n\) 的二进制数表示，那么对于每个询问，只需要把它在所有维度下的二进制数取“与”运算（即能控制的点取交集），这样答案就是二进制位为 \(1\) 的数量了。

维护二进制串？当然是用 std::bitset<>  啦）。

这样复杂度就是 \(\displaystyle O\left( {\frac{{{n^2}k}}{{32}}} \right)\) ，足以通过本题了。

 

代码略。

 

这里其实还有一种在时空复杂度上的优化——分块）。

按照分块的那一套理论，把区间分成 \(\sqrt n \) 个，每块用一个 std::bitset<>  维护前缀，同时维护一个块最大值。查询的时候在块上二分，找到询问点所在的块，然后暴力加块内的点即可。时间复杂度即可缩小至 \(\displaystyle O\left( {\frac{{nk\sqrt n }}{{32}}} \right)\) 。